Sudar dan Sendy

Pada suatu malam yang dingin di musim kering India Barat, tepatnya di wilayah Gujarat, dimana sebuah kota tua bernama Bhinmal, atau yang dahulu dikenal sebagai Bhillamala berada, tampak seseorang yang mirip dengan sosok Sendy Ardiansyah, alumni pertama dan cum laude, MBA Telkom University dengan tesis AI untuk prediksi cryptocurrency yang sebenarnya layak untuk tercatat di museum rekor MURI, karena menjadi serba yang pertama, tengah mengendap-endap di lorong yang gelap tertutupi bayang-bayang rumah yang diterangi bulan setengah.

Sosok jenius AI ini tampak tengah mencari-cari sesuatu atau mungkin seseorang, dan benar, tak lama berselang tampak seseorang berkalung sarung Madras, melangkah bergegas keluar dari rumah ujung yang fasadnya hanya sempat terlihat sekilas.

Sosok kedua ini perawakannya mirip dengan Sundar Pichai. Sundar who? You know Who, sebagaimana julukan bagi Lord Voldemort alias Tom Marvolo Riddle yang saat masih menjadi siswa di Hogwarts, ia adalah anggota asrama Slytherin. Ya Sundar yang itu tentu saja.

Tak lama Sundar dan Sendy pun bertemu di sebuah gardu. Sundar mengeluarkan bekalnya yang telah disiapkan Ibu, terdiri dari Masala Dosa, dan memang dosa itu masalah bukan, serta bisa jadi masalah itu bisa bikin dosa juga kan?

Kali ini Sundar membawa Dal Makhani, sebagai kuah celupnya. Sup Lentil yang lembut dan hangat. Sementara sosok mirip Sendy membawa beberapa lembar Parata buatan ibunya. Mereka berdua makan dalam diam, meski seisi benak mereka dipenuhi pertanyaan, apalagi benak kita yang tak tahu apa-apa bukan?

Jika benar sosok berkalung sarung Madras itu adalah Sundar yang itu, ia baru saja mengumumkan suatu hal absurd yang tampaknya akan menimbulkan kehebohan dunia pada masanya. Sundar baru saja memperkenalkan Willow, sebuah chip komputasi kuantum mutakhir yang menandai pencapaian signifikan dalam upaya mengatasi tantangan utama dalam bidang ini.

Chip ini dirancang untuk mengurangi kesalahan secara eksponensial seiring dengan peningkatan jumlah qubit, sebuah tantangan yang telah dihadapi komunitas ilmiah selama lebih dari 30 tahun. Dengan 105 qubit, Willow mampu menyelesaikan perhitungan nan rumit dalam waktu kurang dari lima menit, p adalah perhitungan itu diprakirakan akan memerlukan waktu pengolahan lebih dari 10^25 tahun bagi superkomputer konvensional. Bahkan Sundar sudah sempat omon-omon dengan Mas Elon Musk, dimana Sundar mengusulkan ide untuk membangun kluster kuantum di luar angkasa menggunakan Starship, alias kapal induk luar angkasa seperti USS Enterprise di Star Trek, yang dibesut oleh Gene Roddenberry. Usul Sundar itu pastinya disambut baik oleh Musk dong, secara beliau dengan SpaceX nya kan memang semenjak awal sudah berancang-ancang untuk melangkah ke sana.

Lalu qubit yang menjadi kata kunci dalam quantum computingnitu apa sih? Dan mengapa kedua tokoh dunia AI itu ada di Bhinmal Gujarat? Sepertinya ada hubungannya dengan qubit nih. Qubit, atau quantum bit, adalah unit dasar informasi dalam komputasi kuantum. Berbeda dari bit pada komputer klasik yang hanya bisa berada dalam dua keadaan 0 dan 1, qubit dapat berada dalam keadaan 0 dan 1 atau kombinasi keduanya secara bersamaan, dengan memanfaatkan prinsip superposisi dalam mekanika kuantum.

Superposisi memungkinkan komputer kuantum melakukan komputasi secara paralel. Mari kita bayangkan, untuk memecahkan teka-teki rumit yang membutuhkan ratusan kombinasi; komputer klasik harus mencoba satu per satu. Namun, komputer kuantum dapat mengolah semua kombinasi tersebut sekaligus, menjadikannya dapat beroperasi jauh lebih cepat untuk mendapatkan hasil komputasi yang selama ini harus diselesaikan dalam waktu yang panjang dengan effort yang besar.

Selain superposisi, qubit juga memiliki kemampuan entanglement. Dua qubit yang terentang secara kuantum memiliki hubungan intrinsik, sehingga perubahan pada satu qubit langsung mempengaruhi yang lain, meskipun terpisah secara fisik. Fenomena inilah yang memungkinkan komputer kuantum mengolah informasi secara kolektif dan eksponensial. Pada intinya, komputer kuantum memanfaatkan prinsip-prinsip kuantum seperti interferensi dan superposisi untuk mempercepat pemecahan masalah.

Salah satu algoritma terkenal dalam komputasi kuantum adalah algoritma Shor, yang mampu memfaktorkan bilangan besar dalam waktu jauh lebih singkat dibandingkan komputer klasik. Algoritma ini memiliki implikasi besar dalam dunia kriptografi, karena banyak sistem keamanan digital saat ini bergantung pada sulitnya memecahkan kombinasi bilangan besar.

Komputasi kuantum tentu saja akan menjadi super tools yang sangat luar biasa dalam mengolah berbagai formula yang memungkinkan terciptanya berbagai inovasi yang semula masih dibatasi sebagai imajinasi karena tak adanya sistem yang dapat digunakan untuk mengeksekusi.

Di ranah ilmu hayati,seperti di bidang farmasi, komputasi kuantum dapat digunakan untuk memodelkan molekul dan reaksi kimia yang terlalu kompleks untuk komputer klasik. Misalnya, simulasi protein untuk menemukan obat baru dapat dipercepat dengan teknologi ini. Demikian pula berbagai penemuan molekul sintesis untuk mensubstitusi fungsi fisiologi tertentu akan dapat terealisasi. Terlebih jika quantum computing diselaraskan dengan model AI seperti AlphaFold.

Di sektor keuangan, komputasi kuantum dapat digunakan untuk optimisasi portofolio dan analisis resiko, membantu perusahaan membuat keputusan yang lebih cerdas. Bahkan dalam logistik, komputasi kuantum dapat digunakan untuk memecahkan masalah rute pengiriman yang efisien (the salesman problem), hingga mengurangi biaya dan juga emisi karbon.

Tentu saja masih banyak hambatan dan kendala yang menyertai program pengembangan sistem komputasi kuantum ini, misal adanya potensi untuk terjadi fenomena dekohesi, di mana qubit kehilangan informasi karena distorsi atau gangguan lingkungan.

Konsekuensinya adalah komputer kuantum harus beroperasi dalam kondisi yang sangat terkontrol, hingga faktor-faktor lingkungan yang mempengaruhi sifat-sifat fisikanya harus dikendalikan secara ketat, misal pengaturan suhu dimana komputer kuantum bekerja, biasanya mendekati nol absolut.

Saat ini riset di komputasi kuantum yang melibatkan cendekiawan lintas disiplin telah berhasil merumuskan langkah strategis untuk mengatasi berbagai persoalan yang masih menjadi kendala. Quantum error correction yang dikembangkan, terbukti telah mampu mengatasi berbagai masalah, hingga Google melalui Willow nya mengklaim telah mencapai supremasi kuantum, di mana komputer kuantumnya menyelesaikan masalah dalam waktu 200 detik yang akan membutuhkan komputer klasik 10.000 tahun. Sungguh dahsyat bukan?

Dahsyatnya adalah kala capaian perkembangan keilmuan di tingkat teoritik ternyata dapat maujud dalam sebuah inovasi yang dapat diimplementasi. Bagaimana teori fisika kuantum tentang super posisi, entanglement, dan interferensi dapat menjadi prinsip inti dalam suatu sistem komputasi.

Qubit yang tidak hanya berada dalam salah satu dari dua keadaan, tetapi dalam kombinasi dari keduanya, menjadi saling terkait sedemikian rupa sehingga keadaan satu qubit bergantung pada keadaan qubit lainnya, bahkan jika mereka terpisah secara fisik. Lalu dengan interferensi, komputasi kuantum dapat memperkuat solusi yang benar dan membatalkan solusi yang salah. Kombinasi amplitudo probabilitas memungkinkan pengoptimalan solusi dalam algoritma seperti Grover dan Shor. Ajaib bukan?

Qubit dimanipulasi dengan menggunakan quantum gates, yang merupakan analog dari gerbang logika dalam komputasi klasik. Beberapa gerbang penting lainnya adalah Hadamard Gate yang mengubah qubit menjadi super posisi, lalu ada Pauli Gates (X,Y,Z), dan CNOT Gates yang mendorong penerapan operasi pada satu qubit berdasarkan keadaan qubit kontrol, yang penting untuk menghasilkan kondisi entanglement.

Qubit sendiri dihasilkan melalui beberapa mekanisme seperti; ion trap, dengan menggunakan medan magnet, super konduktor dengan menggunakan arus listrik di media super konduktif, dan Foton serta Spin Elektron.

Tampaknya kehadiran 2 sosok dewa IT misterius di Bhinmal malam inipun masih terkait suatu momentum luar biasa, saat 2 raja beda kuasa bersua dalam satu momen yang mempersatukan mereka berdua. Momentum super kairos itu adalah peristiwa yang sengaja saya sitir langsung dari salah satu kanal berita secara apa adanya:

The new AI supercomputer, named “Gefion” and built on NVIDIA DGX SuperPOD, was launched at an event in Copenhagen, where HM King Frederik X of Denmark, Jensen Huang, founder and CEO of NVIDIA, and Nadia Carlsten, CEO of DCAI, symbolically turned the system “on”.

Bukankah di Copenhagen juga prinsip-prinsip dasar mekanika kuantum yang digunakan dalam pendekatan komputasi kuantum resmi diinterpretasikan oleh Niels Bohr dan Werner Heisenberg ? Interpretasi Kopenhagen adalah salah satu pendekatan paling terkenal dalam mekanika kuantum yang dikembangkan oleh Niels Bohr dan Werner Heisenberg pada tahun 1920-an.

Interpretasi ini berusaha menjelaskan bagaimana teori kuantum yang abstrak dapat diterapkan untuk memahami dunia fisik. Berikut adalah poin-poin utama dari interpretasi Kopenhagen,

– Prinsip Superposisi
Sistem kuantum berada dalam superposisi dari semua kemungkinan keadaan hingga diukur. Misalnya, sebuah partikel tidak memiliki posisi atau momentum yang pasti sebelum diukur, melainkan berada dalam kombinasi probabilistik dari semua kemungkinan nilai.

– Fungsi Gelombang dan Probabilitas
Fungsi gelombang (ψ) menggambarkan keadaan sistem kuantum dan evolusi dinamisnya. Kuadrat dari fungsi gelombang (|ψ|²) memberikan probabilitas menemukan sistem dalam keadaan tertentu. Namun, fungsi gelombang itu sendiri tidak memiliki interpretasi fisik langsung.

– Kollaps Fungsi Gelombang
Ketika pengukuran dilakukan, fungsi gelombang “kolaps” ke salah satu keadaan eigen yang sesuai dengan hasil pengukuran. Proses ini bersifat probabilistik dan tidak deterministik.

– Ketidakpastian Heisenberg
Interpretasi Kopenhagen sejalan dengan prinsip ketidakpastian, yang menyatakan bahwa tidak mungkin mengukur pasangan variabel tertentu (seperti posisi dan momentum) dengan presisi tak terbatas secara bersamaan.

– Komplementaritas
Niels Bohr memperkenalkan konsep komplementaritas, yang menyatakan bahwa sifat-sifat partikel dan gelombang adalah aspek komplementer dari kenyataan. Cara sistem kuantum dimanifestasikan bergantung pada pengaturan eksperimen.

– Tidak Ada Realitas Independen
Dalam interpretasi ini, sistem kuantum tidak memiliki sifat tertentu hingga diukur. Dengan kata lain, realitas fisik tidak independen dari pengamatan; pengukuran berperan aktif dalam menentukan hasil.

– Subjektivitas dan Batas Pengamatan
Interpretasi Kopenhagen menerima bahwa mekanika kuantum adalah teori tentang apa yang dapat diamati, bukan tentang “realitas objektif”. Oleh karena itu, diskusi tentang sifat “nyata” sistem kuantum dianggap tidak relevan dalam kerangka ini.

Misteri Bhinmal di malam itu tampaknya terkait dengan angka 0. Karena di kota itulah pada abad ke 7 angka 0 pertama kali ditemukan. Tanpa angka 0 maka qubit dan sistem binari takkan pernah ada, dan dunia komputasi yang kemudian melahirkan AI akan tetap berada di kerajaan mimpi sebagai sebentuk imajinasi yang tergolong sebagai ilusi atau bahkan delusi.

Sistem angka sendiri memang telah ada selama ribuan tahun, dimulai dari peradaban kuno seperti Mesopotamia, Mesir, dan India. Sistem angka Mesopotamia (sekitar 3100 SM) menggunakan basis seksagesimal (basis 60) yang mendasari pembagian waktu modern. Sistem angka Mesir Kuno (sekitar 3000 SM) bersifat desimal tetapi berbasis hieroglif. Sementara itu, bangsa Romawi menggunakan angka Romawi yang terbatas dalam efisiensi aritmetika karena kurangnya konsep angka nol (Joseph, 2011).

Kontribusi signifikan datang dari India pada abad ke-6 dengan pengembangan sistem angka Hindu-Arab, yang diadopsi di dunia Islam melalui Al-Khwarizmi dan kemudian diperkenalkan ke Eropa oleh Fibonacci dalam bukunya Liber Abaci (Devlin, 2012).

Angka nol ditemukan pertama kali di India pada abad ke-7 oleh matematikawan Brahmagupta, yang mendeskripsikannya dalam karyanya Brahmasphutasiddhanta. Dalam naskah ini, nol dijelaskan sebagai “hasil pengurangan suatu angka oleh dirinya sendiri” dan menjadi bagian integral dari operasi matematika, seperti penjumlahan dan pengurangan (Kaplan, 1999).

Selanjutnya, sistem angka Hindu-Arab yang mencakup nol diadopsi oleh matematikawan Muslim seperti Al-Khwarizmi, yang menulis tentang nol dalam konteks aljabar. Dari dunia Islam, nol menyebar ke Eropa melalui terjemahan naskah-naskah ilmiah ke dalam bahasa Latin (O’Connor & Robertson, 2000).

Dalam matematika, angka nol memiliki peran fundamental. Nol adalah identitas tambahan (misalnya,) dan elemen penting dalam struktur bilangan bulat, bilangan real/riil, dan bilangan kompleks. Nol juga memungkinkan pengembangan kalkulus, aljabar linier, dan teori bilangan.

Pendapat para ahli seperti Richard Dedekind menegaskan bahwa nol berfungsi sebagai elemen dasar untuk membangun teori bilangan melalui aksioma Peano. Dalam perspektif modern, nol adalah titik asal sistem koordinat kartesian, yang menjadi dasar bagi geometri analitik dan aplikasi modern dalam fisika dan teknologi (Dedekind, 1963).

Sistem numerasi, angka, khususnya angka 0, pada gilirannya menghantarkan peradaban manusia untuk mengenal sistem komputasi yang mampu mereplikasi kapasitas kognisi dalam mengkalkulasi operasi dalam model logika yang kelak dikenal sebagai matematika. Sistem binari lah sang pembuka Kotak Pandora.

Sistem bilangan binari, yang hanya menggunakan dua angka, yaitu 0 dan 1, pertama kali dirumuskan oleh matematikawan Tiongkok kuno melalui konsep yin-yang, seperti yang tercantum dalam I Ching. Namun, sistem binari modern dirumuskan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1703 dalam artikelnya Explication de l’Arithmétique Binaire. Dimana Leibniz menunjukkan bahwa sistem ini memiliki keunggulan karena kesederhanaannya dan korelasi filosofisnya dengan dualitas (Knuth, 1997).

Pengembangan sistem binari kemudian dipadukan ke dalam teknologi komputer modern oleh Claude Shannon pada abad ke-20 melalui penerapan logika Boolean dalam sirkuit elektronik (Shannon, 1948).

Dalam sistem binari, angka nol memiliki peran vital sebagai salah satu dari dua komponen dasar. Nol merepresentasikan keadaan “mati” atau “off” dalam sirkuit digital, sedangkan angka satu merepresentasikan “hidup” atau “on.” Kombinasi angka nol dan satu memungkinkan pengkodean informasi yang efisien dalam sistem komputer.

Pendapat para ahli seperti Shannon menunjukkan bahwa angka nol dalam sistem binari merepresentasikan keberadaan ketidakadaan, sebuah konsep yang mendasari pengolahan data digital modern. Dengan angka nol, logika Booleanmenjadi dasar pemrograman dan pengolahan informasi dalam teknologi modern (Shannon, 1948).

Dari 0 lah lahir peradaban Akal Imitasi hari ini dengan model generative AI nya yang sedemikian luar biasa, hingga telah mampu melampaui kapasitas kognisi manusia. Tapi dari Bhinmal atau Bhillamala lah semua itu berawal.

Pada abad ke-7 M, Bhinmal adalah bagian dari Kerajaan Gurjara-Pratihara, yang mendukung perkembangan intelektual. Brahmagupta menjabat sebagai kepala observatorium astronomi di Ujjain, sebuah kota dekat Bhinmal yang terkenal sebagai pusat ilmu pengetahuan dan astronomi di India kuno. Melalui karya-karyanya, ia memainkan peran penting dalam menjadikan kawasan tersebut sebagai pusat pengetahuan dunia pada zamannya.

Brahmagupta memperkenalkan konsep angka nol (0) secara formal dalam sistem matematika. Ia melakukannya melalui karyanya yang monumental, Brahmasphutasiddhanta (Artikulasi Sistem Kosmis), yang ditulis pada tahun 628 M. Penemuan ini tidak hanya merevolusi matematika, tetapi juga menjadi fondasi bagi perkembangan sistem angka modern dan komputasi yang kita gunakan saat ini.

Dan demi menelusuri manuskrip asli Brahmasphutasiddhanta lah rupanya duo Sudar dan Sendy itu blusukan di gang-gang sempit kota tua yang berada di jantung Gujarat. Histori tentang sebuah perjalanan peradaban yang dimulai dari penemuan nan hebat, penemuan konsep kekosongan atau sunyata, ruang dimana semua kemungkinan dilahirkan. Dimana nol atau kosong bukanlah ketiadaan, melainkan potensi murni yang dapat menjadi dan menjelma ke dalam bentuk apa saja.

Bahkan filsuf seperti Parmenides dan Heidegger, menjadikan nol titik tolak untuk mencermati hubungan antara “ada” dan “tiada.” Heidegger, misalnya, menyatakan bahwa “tiada” adalah esensi yang memungkinkan keberadaan. Dalam bukan? Hati-hati klelep ya.

Dalam fisika modern, nol dalam konsep ruang dan waktu merepresentasikan singularitas, tempat di mana semua hukum fisika berhenti berlaku. Sedangkan dalam sistem koordinat kartesian, Descartes menggunakan nol sebagai pusat sistem koordinat, melambangkan titik asal yang netral dan objektif.

Buat Pak Sendy MBA? Nol adalah prosperity, semakin banyak nol di belakang angka apa saja, itulah makna cuan yang sebenarnya.

Bhinmal dan Gujarat pun tampaknya tak terlalu asing dengan kita, karena sebagai daerah yang kerap disebut sebagai titik jalur sutra maritim, sejak abad ke 8-9 Nusantara telah menjalin hubungan yang baik dengan kawasan itu.

Jejak budaya Gujarat terlihat dalam seni Islam Nusantara, seperti ornamen masjid, nisan makam, dan manuskrip keagamaan. Contohnya, batu nisan _Sultan Malikussaleh_ di Samudra Pasai yang memiliki gaya seni yang menyerupai nisan dari Gujarat. Juga penggunaan motif Patola asal Gujarat di berbagai seni tenun tradisional Nusantara sejak awal ke 10.

Jadi mungkin saja semenjak fase awal penemuan angka 0, bukan saja Khawarizmi yang telah terpesona dan terinspirasi oleh angka kosongnya Brahmagupta itu, bisa jadi ada cendekiawan Nusantara tak dikenal yang telah menerapkannya dalam berbagai perhitungan geometris seperti di struktur percandian bukan?

Tapi memang Al-Khawarizmi yang lahir di wilayah Khwarezm (sekarang Khiva, Uzbekistan), sekitar tahun 780 M lah yang dengan cerdas mengembangkan konsep itu dalam matematika.

Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi (780–850 M) adalah seorang cendekiawan Muslim yang dikenal sebagai “Bapak Aljabar”. Ia hidup pada masa keemasan Islam di Baghdad dan memberikan kontribusi besar dalam bidang matematika, astronomi, geografi, dan sains lainnya. Namanya diabadikan dalam kata “algoritma,” yang berasal dari transliterasi namanya, serta dalam perkembangan ilmu matematika modern.

Ia pindah ke Baghdad, pusat intelektual dunia pada masa itu, dan bekerja di Bayt al-Hikmah (Rumah Kebijaksanaan), sebuah lembaga ilmiah yang didirikan oleh Khalifah Al-Ma’mun dari Dinasti Abbasiyah. Di sana, ia terlibat dalam penerjemahan naskah-naskah Yunani dan India, serta menghasilkan karya-karya orisinal yang menjadi tonggak penting dalam berbagai disiplin ilmu.

Karya terpenting Al-Khawarizmi adalah Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala (Buku Singkat tentang Kalkulasi melalui Penyelesaian dan Pengurangan). Buku ini adalah salah satu teks pertama yang merumuskan aljabar sebagai disiplin ilmu mandiri. Khawarizmi memperkenalkan metode sistematis untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat, yang disebut al-jabr (rekonstruksi) dan al-muqabala (reduksi).

Konsep dan prinsip dasar operasi matematika ini dapat terwujud, tentu saja karena keberadaan dari angka 0 yang berasal dari terobosan Brahmagupta. Karya Al-Khawarizmi kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12 oleh ilmuwan Kristen seperti Gerard of Cremona dan Adelard of Bath. Di edisi latinnya, judul karya Khawarizmi menjadi Algoritmi, dan bukunya dikenal sebagai Algoritmi de Numero Indorum. Melalui karya-karya ini, matematika timur mulai memasuki dunia barat, dan mempengaruhi perkembangan matematika Eropa selama abad pertengahan, sampai hari ini.

Tepat dengan berakhirnya saya mengetik kisah Khawarizmi ini, saya juga mulai menyadari, bahwa mungkin saja kedua orang di Bhinmal Gujarat yang tengah asyik masyuk piknik di tengah malam itu memang orang Bhinmal yang takut ketahuan istrinya saat cheating diet rendah lemak dan kalori mereka ya ? Kan mungkin saja ada orang Gujarat yang mirip Sundar dan Sendy bukan ? 🙏🏾🩵🇲🇨

Kanggo Babacaan :

Brahmagupta dan Angka Nol

Kaplan, R. (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press.
O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2000). A History of Zero. MacTutor History of Mathematics Archive. Retrieved from https://mathshistory.st-andrews.ac.uk

Qubit dan Komputasi Kuantum

Deutsch, D. (1985). Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 400(1818), 97–117.
Shor, P. W. (1997). Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. SIAM Journal on Computing, 26(5), 1484–1509.
Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.

Teknologi Willow

Google AI. (2024). Google Quantum AI achieves error-correction milestone with Willow chip. Retrieved from https://ai.googleblog.com
Fox Business. (2024). Google impresses Elon Musk with new breakthrough chip. Retrieved from https://www.foxbusiness.com

Hubungan Gujarat dengan Nusantara

Lombard, D. (1990). Nusa Jawa: Silang Budaya, Volume 1: Batas-Batas Pembaratan. Gramedia.
Ricklefs, M. C. (2008). A History of Modern Indonesia Since c. 1200. Stanford University Press.
Tibbets, G. R. (1979). A Study of the Arabic Texts Containing Material on Southeast Asia. E. J. Brill.

Al-Khawarizmi

Bashmakova, I. G., & Smirnova, G. S. (2000). The Beginnings and Evolution of Algebra. The Mathematical Association of America.
Hogendijk, J. P. (1989). Al-Khwarizmi’s Algebra. In Rashed, R. (Ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science (pp. 813–827). Routledge.
Toomer, G. J. (1990). Al-Khwarizmi. In Gillispie, C. C. (Ed.), Dictionary of Scientific Biography (Vol. 7, pp. 358–365). Charles Scribner’s Sons.